Gruppo sporadico

In matematica, e in particolare in teoria dei gruppi, con gruppo sporadico si intende un gruppo semplice finito che è uno dei 26 casi eccezionali del teorema di classificazione dei gruppi semplici finiti. Questo teorema afferma infatti che, se ${\displaystyle G}$ è un gruppo semplice finito allora, ${\displaystyle G}$ è

• un gruppo con un numero primo di elementi, oppure
• un gruppo alternante ${\displaystyle A_{n}}$ con ${\displaystyle n}$ maggiore di ${\displaystyle 5}$, oppure
• un gruppo di tipo Lie, oppure
• uno dei 26 gruppi sporadici.

I primi cinque gruppi sporadici furono scoperti da Emile Léonard Mathieu nel 1861 e nel 1873. I successivi furono scoperti tra il 1965 ed il 1975, generalmente prendono il nome dai loro scopritori.

Per via della loro struttura anomala, i gruppi sporadici sono oggetti matematici che presentano tuttora aspetti misteriosi e, presumibilmente ricchi di interessanti conseguenze. A tal proposito val la pena ricordare il problema del Monstrous moonshine per il Mostro recentemente risolto da Richard Borcherds.

Lista ed ordini dei gruppi sporadici

I cinque gruppi di Mathieu:

• ${\displaystyle M_{11}}$, di ordine ${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 11;}$
• ${\displaystyle M_{12}}$, di ordine ${\displaystyle 2^{6}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 11;}$
• ${\displaystyle M_{22}}$, di ordine ${\displaystyle 2^{7}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11;}$
• ${\displaystyle M_{23}}$, di ordine ${\displaystyle 2^{7}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 23;}$
• ${\displaystyle M_{24}}$, di ordine ${\displaystyle 2^{10}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 23.}$

I quattro gruppi di Janko:

• ${\displaystyle J_{1}}$, di ordine ${\displaystyle 2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 19;}$
• ${\displaystyle J_{2}}$, di ordine ${\displaystyle 2^{7}\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}\cdot 7;}$
• ${\displaystyle J_{3}}$, di ordine ${\displaystyle 2^{7}\cdot 3^{5}\cdot 5\cdot 17\cdot 19;}$
• ${\displaystyle J_{4}}$, di ordine ${\displaystyle 2^{21}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11^{3}\cdot 23\cdot 29\cdot 31\cdot 37\cdot 43.}$

I tre gruppi di Conway:

• ${\displaystyle Co_{3}}$, di ordine ${\displaystyle 2^{10}\cdot 3^{7}\cdot 5^{3}\cdot 7\cdot 11\cdot 23;}$
• ${\displaystyle Co_{2}}$, di ordine ${\displaystyle 2^{18}\cdot 3^{6}\cdot 5^{3}\cdot 7\cdot 11\cdot 23;}$
• ${\displaystyle Co_{1}}$, di ordine ${\displaystyle 2^{21}\cdot 3^{9}\cdot 5^{4}\cdot 7^{2}\cdot 11\cdot 13\cdot 23.}$

Il gruppo di Higman-Sims:

• ${\displaystyle HS}$, di ordine ${\displaystyle 2^{9}\cdot 3^{2}\cdot 5^{3}\cdot 7.}$

Il gruppo di McLaughlin:

• ${\displaystyle HS}$, di ordine ${\displaystyle 2^{7}\cdot 3^{6}\cdot 5^{3}\cdot 7\cdot 11.}$

Il gruppo di Suzuki:

• ${\displaystyle Suz}$, di ordine ${\displaystyle 2^{13}\cdot 3^{7}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11\cdot 13.}$

Il gruppo di Held:

• ${\displaystyle He}$, di ordine ${\displaystyle 2^{10}\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}\cdot 7^{3}\cdot 17.}$

Il gruppo di Lyons:

• ${\displaystyle Ly}$, di ordine ${\displaystyle 2^{8}\cdot 3^{7}\cdot 5^{6}\cdot 7\cdot 11\cdot 31\cdot 37\cdot 67.}$

Il gruppo di Rudvalis:

• ${\displaystyle Ru}$, di ordine ${\displaystyle 2^{14}\cdot 3^{3}\cdot 5^{3}\cdot 7\cdot 13\cdot 29.}$

Il gruppo di O'Nan:

• ${\displaystyle O'N}$, di ordine ${\displaystyle 2^{9}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7^{3}\cdot 11\cdot 19\cdot 31.}$

I tre gruppi di Fischer:

• ${\displaystyle Fi_{22}}$, di ordine ${\displaystyle 2^{17}\cdot 3^{9}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11\cdot 13;}$
• ${\displaystyle Fi_{23}}$, di ordine ${\displaystyle 2^{18}\cdot 3^{13}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 23;}$
• ${\displaystyle Fi_{24}'}$, di ordine ${\displaystyle 2^{21}\cdot 3^{16}\cdot 5^{2}\cdot 7^{3}\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 23\cdot 29.}$

Il gruppo di Harada-Norton:

• ${\displaystyle HN}$, di ordine ${\displaystyle 2^{14}\cdot 3^{6}\cdot 5^{6}\cdot 7\cdot 11\cdot 19.}$

Il gruppo di Thompson:

• ${\displaystyle Th}$, di ordine ${\displaystyle 2^{15}\cdot 3^{10}\cdot 5^{3}\cdot 7^{2}\cdot 13\cdot 19\cdot 31.}$

Il Baby Mostro:

• ${\displaystyle B}$, di ordine ${\displaystyle 2^{41}\cdot 3^{13}\cdot 5^{6}\cdot 7^{2}\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 31\cdot 47.}$

Il Mostro di Fischer-Griess:

• ${\displaystyle M}$, di ordine ${\displaystyle 2^{46}\cdot 3^{20}\cdot 5^{9}\cdot 7^{6}\cdot 11^{2}\cdot 13^{3}\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 29\cdot 31\cdot 41\cdot 47\cdot 59\cdot 71.}$

Relazioni tra i gruppi sporadici

Può essere interessante notare che, contrariamente a quanto il loro nome possa far supporre, i gruppi sporadici hanno diversi legami tra loro e con gli altri gruppi semplici finiti. Ad esempio ${\displaystyle M_{11}}$ può venire costruito a partire dall'automorfismo esterno eccezionale di ${\displaystyle Alt_{6}}$ e tutti i gruppi di Mathieu possono essere costruiti ricorsivamente come gruppi di automorfismi di sistemi di Steiner. ${\displaystyle Co_{1}}$ è il quoziente modulo un centro di ordine ${\displaystyle 2}$ del gruppo degli automorfismi del Reticolo di Leech (un reticolo intero ${\displaystyle 24}$-dimensionale di uno spazio euclideo di dimensione 24). Come stabilizzatori di certi sottoreticoli di dimensione ${\displaystyle 1}$ e ${\displaystyle 2}$ del Reticolo di Leech si possono trovare ${\displaystyle Co_{2}}$, ${\displaystyle Co_{3}}$, ${\displaystyle McL}$, ${\displaystyle HS}$, e come certi sottogruppi locali di ${\displaystyle Co_{1}}$, anche ${\displaystyle J_{2}}$ e ${\displaystyle Suz}$. Inoltre il Reticolo di Leech può essere costruito a partire dal sistema di Steiner ${\displaystyle S(24,8,5)}$ associato a ${\displaystyle M_{24}}$. Esclusi i ${\displaystyle 6}$ gruppi ${\displaystyle J_{1}}$, ${\displaystyle O'N}$, ${\displaystyle J_{3}}$, ${\displaystyle Ly}$, ${\displaystyle Ru}$ e ${\displaystyle J_{4}}$ (i cosiddetti Pariah), i restanti ${\displaystyle 20}$ gruppi sporadici sono contenuti come sezioni nel Mostro e molti di questi compaiono come fattori di composizione nei sottogruppi locali del Mostro: ad esempio il Baby Mostro e ${\displaystyle Co_{1}}$ compaiono come quozienti di centralizzanti di opportuni elementi di ordine ${\displaystyle 2}$ del Mostro, similmente nei normalizzanti dei sottogruppi di ordine ${\displaystyle 3}$ compaiono ${\displaystyle Fi_{24}'}$ e ${\displaystyle Suz}$ e, per opportuni sottogruppi di ordine ${\displaystyle 5}$, ${\displaystyle 7}$ e ${\displaystyle 11}$ si possono trovare in modo analogo rispettivamente ${\displaystyle J_{2}}$, ${\displaystyle He}$ e ${\displaystyle M_{12}}$. Allo stesso modo, nelle sezioni di sottogruppi locali del Baby Mostro si possono inoltre trovare: ${\displaystyle Co_{2}}$ e ${\displaystyle HN}$ nei centralizzanti di elementi di ordine ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle Fi_{22}}$ nei normalizzanti di opportuni elementi di ordine ${\displaystyle 3}$ e ${\displaystyle HS}$ in quelli di ordine ${\displaystyle 5}$.

Bibliografia

• Michael Aschbacher:Sporadic groupsCambridge University Press, Cambridge 1994
• John Horton Conway: A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 61 (1968), 398-400.
• John Horton Conway, J. H.; Curtis, R. T.; Norton, S. P.; Parker, R. A.; Wilson, R. A., Atlas of finite groups. Maximal subgroups and ordinary characters for simple groups. With computational assistance from J. G. Thackray. Eynsham: Oxford University Press, 1985, ISBN 0-19-853199-0
• Daniel Gorenstein, Richard Lyons, Ronald Solomon The Classification of the Finite Simple Groups, Number 3 Memoirs Amer. Math. Soc. vol. 40 number 3, 1998
• Robert L. Griess: "Twelve Sporadic Groups", Springer-Verlag, 1998.

Collegamenti esterni

• Gruppi sporadici, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Opere riguardanti Sporadic groups (Mathematics), su Open Library, Internet Archive.
• (EN) Eric W. Weisstein, Sporadic Group, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Sporadic simple group, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• Atlas of Finite Group Representations: Sporadic groups, su brauer.maths.qmul.ac.uk.